2000년 미국 클레이수학연구소가 각 문제 당 100만 달러의 상금을 걸고 가정 먼저 해결하는 사람에게 해당 상금을 주겠다고 해서 유명해 진 것이 바로 수학 7대 밀레니엄 난제인데요 물론 그 문제들이 아주 해결이 어렵고 또 해결했을 때 관련 분야에서 많은 중요한 변화들을 이끌어 낼 수 있다는 점에서 중요한 문제들이기는 하지만 수학 세계에는 그런 문제 말고도 아직까지 해결하지 못한 문제들이 많이 있다고 합니다. 오늘은 그 가운데 이해하기는 쉬운데 해결은 아직 안된 세 가지 문제들을 소개해 볼까 합니다.


1. 브로카드의 문제 (Brocard’s Problem)

자기 자신부터 1씩 작은 수를 계속 곱해서 1까지 곱하는 것을 계승(펙토리얼)이라고 하고 보통 기호로는 n!라고 표시하지요. 즉,

n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 3 x 2 x 1

펙토리얼이 갖는 수학적 의미는 n개의 원소들을 배열할 수 있는 가짓수를 나타낸다는 것이지요.
예를 들어, 영어 알파벳은 모두 26자인데 이것들을 전부 배열해서 만들 수 있는 가짓수는

26! = 403,291,461,126,605,635,584,000,000개 이지요.

19세기 말에 Henri Brocard는 다음과 같은 것을 발견합니다.

4! + 1 = 4 x 3 x 2 x 1 + 1 = 25 = 5^2 (5의 제곱)
5! + 1 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 1 = 121 = 11^2 (11의 제곱)
7! + 1 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 1 = 5041 = 71^2 (71의 제곱)

위 세 가지 식의 답은 모두 정사각형의 넓이입니다 (각각 한 변이 길이가 5, 11, 71인…).
그런데 브로카드는 위의 세 수 (4, 5, 7) 말고는 자신의 펙토리얼에 1을 더해서 정사각형의 넓이를 나타내는 결과물을 만드는 수를 더 이상은 발견하지 못합니다.
그리고 아직까지도 정말로 저 세 수들 말고는 이러한 조건을 만족하는 수가 더 이상은 없는 지 아직은 증명되지 않았습니다.
(2000년에 William Galway라는 학자가 10억까지는 그러한 수가 없다는 것을 보인 바 있습니다.)


2. 홀수인 완전수

완전수(perfect number)라 함은 자신의 약수들을 모두 더한 것이 자기 자신과 같은 수를 말합니다. 예를 들어.

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

는 완전수들 입니다.

그리고 유클리드는 만약 2^p – 1 (2의 p승에 1을 뺀 수)이 소수인 경우, 2^p-1(2^p -1)이 완전수가 됨을 증명하지요. 즉, 아래의 식이 맞는다는 것을 증명한 것입니다.


즉 위의 수가 만약 소수라면...

위 식의 답은 완전수가 된다는 것을 증명한 것입니다.

위의 식에서 p=2인 경우가 6이 되는 것이고, p=3인 경우가 28이 나오는 것입니다.
그런데 이런 식으로 찾아낸 완전수들은 지금까지 모두 짝수들뿐이었습니다.
즉 완전수 가운데 과연 홀수가 있는가 하는 문제 역시 아직까지 증명이 되지 않고 있다고 합니다.


3. Collatz 추측 (Collatz Conjecture)

자연수 가운데 아무거나 하나를 택합니다.

만약 그 수가 짝수라면 그 수를 2로 나눕니다.

만약 선택한 수가 홀수라면 거기에 3을 곱하고 난 후 1을 더합니다.

그리고 위의 연산을 반복합니다.

자, 여러분이 만약 12를 선택했다고 칩시다. 그럼 위의 조건대로 연산을 계속하는 경우…

12 -> 6 -> 3 -> 10 -> 5 - > 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1

위와 같은 결과가 나올 것입니다. 그리고 일단 1이라는 결과를 얻고 나면 그 뒤로부터는 계속해서
“4 -> 2 -> 1” 이 무한 반복됩니다.

여러분들이 시작을 어떤 자연수로 하던, 연산이 얼마나 오랫동안 이어지던 결국 나중에는 똑 같은 결과를 맞이하게 됩니다.

위의 사이클 말고 다른 사이클이 나오는 경우가 있는 지 아직까지 증명이 되지 않고 있습니다.

위 추측은 1부터 시작해서 5.764 x 10^18 (10의 18승)까지는 들어맞는다는 것이 드러났습니다.

하지만 아직 수학적으로 모든 자연수에서 다 그렇다라고 하는 것은 증명되지 않았다고 합니다.