미적분도 경제수학할 때 배운 것이 전부라 잘 기억이 나지 않는데 미분방정식을 잠시 공부해야 하는 사태(?)가 발생하였습니다.
그리하여 도서관에서 미방 관련책을 살펴보던 중에
f(x,y)=integral df(x,y)dx + g(y)  에서 왜 g(y)가 붙는지 몰라서(부정적분하는 과정이 이해가 잘 안가서) 질문드리고자 합니다.

미적분책을 보니 부정적분시 1변수에 대해서는 뒤에 상수 C가 붙는다는 것이 중간값 정리를 이용해서 증명되어 있었습니다.
그런데 다변수일 경우에는 C가 y가 변함에 따라 달라질 수 있기 때문에 g(y)로 표현한다면서 직관적으로 서술되어 있어 잘 이해되지 않았습니다.

그리하여, 간단한 경우 (df(x,y)/dx=0일 경우)를 통해서 이해하고자 합니다.
예를 들어,  df(x,y)/dx=0일 경우,부정적분을 하면 f(x,y)=g(y) 형태가 된다고 하는데 어떻게 증명해야 하는지 궁금합니다.

제 나름대로는 아래와 같이 증명(?)했는데 수학이 약해서 올바르게 이해하는건지 모르겠습니다. 가르침 부탁드립니다.

증명) df(x,y)/dx=0 인 경우, 1변수인 경우 중간값 정리의 내용을 차용하면 주어진 y에 대하여 f(x1,y)=f(x2,y)=f(x3,y)=......이다.
        이에 따라, 특정한 상수 a를 설정하여 f(x,y)=f(x1,y)=f(x2,y)=....= f(a,y)로 놓을 수 있다.
        이 때, f(a,y)에서 a는 상수이므로 f(a,y)는 y의 함수가 된다.
        이를 g(y)라 하면, f(a,y)=g(y)가 되므로 결국 f(a,y)=g(y)가 된다.

아니면, 다른(?) 증명법( ex) 벡터 등등..)이 있는지 궁금합니다.