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22/06/07 06:08
몬티 홀 문제의 조건은 참가자가 고르지 않은 문 중에서 차가 없는 문을 열어주는 것입니다. 특정 문에 차가 존재하는 사건과 그 문을 열어주는 사건이 서로 독립일 경우 염소가 아닌 차가 있는 문을 열어줄 수도 있습니다.
22/06/07 05:47
몬티 홀 문제, 조건부 획률 때문이죠
https://namu.wiki/w/%EB%AA%AC%ED%8B%B0%20%ED%99%80%20%EB%AC%B8%EC%A0%9C#s-3 통계학과 사람의 직관이 얼마나 차이나는지를 잘 설명하는 문제입니다
22/06/07 05:51
33.3짜리 문 하나, 33.3짜리 문 두개로 나눠진 그룹에서 후자의 문 하나가 꽝이란걸 확정적으로 안 순간 66.7짜리 문 하나가 되버리죠
물론 못 뽑아도 책임져주지 않습니다 크크
22/06/07 06:30
이해했어 하고도 돌아서면 이게 맞나 싶은...
고등학교때 기하벡터나 미적분 같은건 곧잘했지만 경우의수~확률 계산은 도무지 모르겠더라구요 수리 가형에는 없는 단원이라 다행이라 생각했습니다
22/06/07 06:37
(수정됨) '게임진행자는 문 뒤에 뭐가 있을지 알고 있어' 가 핵심이죠. 처음 열어주는 문 뒤에 자동차가 있을 확률을 제거해주니까요.
22/06/07 06:40
로또 자동 1등 확률은 660만분의1.
내가 자동으로 산 복권방에서 자동으로 1주일동안 2명이 샀는데 1등 1명 당첨. 나의 당첨 확률은?
22/06/07 06:40
저는 이해를 못하겠어요.
꽝(염소) 하나를 줄여줬으니 확률은 1/2 가 되고 1번을 고르나 2번을 고르나 확률은 같은게 아닌지..
22/06/07 06:53
100개의 문으로 늘리면 이해가 편합니다.
100개의 문중 내가 고른문이 당첨될 확률은 1/100이고, 나머지에서 당첨문이 나올 확률은 99/100이죠. 그럼 여기서 사회자가 내가 고른문을 제외한 나머지 문중에서 98개를 열었다고 가정한다면 내가 고른 문이 당첨일 확률은 그대로 1/100이고, 나머지 문에서 당첨일 확률은 99/100이 됩니다. 그런데 사회자가 나머지 문을 다 열었으니 나머지 문은 1개밖에 안남았으니 그게 당첨일 확률이 99%가 되는거죠.
22/06/07 08:52
이럼에도 이해가 잘 가질 않습니다.
결국 한번 혹은 98개를 여는 과정에서 n번의 선택을 다시 할 수 있는 상태이면 그대마다 확률은 남은 개수가 분모가 되어 가지는 것이 아닌가요? 따라서 마지막에 98개를 다 없앤다음에 처음에 선택한 것에서 바꿀래? 라고 하는 바로 그 시점은 여전히 50:50 이라는 생각이 변하질 않는데요. 그리고 진행자가 98번은 염소를 인위적으로 뽑아야 하는 상황이라 그 확률을 그대로 적용하는 것이 맞는지에 대해서의 의문이긴 합니다.
22/06/07 08:54
(수정됨) 그냥 아주아주 다른거 다 떼놓고 말하면
100개의 문중 하나를 선택한뒤 사회자가 너 이 문 하나에 그대로 있을래. 나머지 99개 합친 문으로 바꿀래? 이것과 같은겁니다. 중요한건 사회자가 [답을 알고 있다]라는거죠. 답을 모르고 있을때는 [문을 열었더니 꽝인 문을 열었다는 확률]이 들어가면서 남은 문의 확률이 점점 변하지만 답을 알고 있으면 [100% 확률로 꽝인 문을 선택]하기 때문에 99개의 문이 98개로 남건 97개로 남건 1개가 남건 99/100의 확률이 되는겁니다.
22/06/07 09:32
이건 반대로 문이 2개라고 생각해보면 이해하기 쉽습니다.
진행자가 정답을 알고있고 오답만을 공개할 수 있는 경우 : 내가 오답을 골랐다면 진행자는 문을 열어줄 수가 없습니다. 진행자가 무작위로 문을 여는 경우 : 내가 오답을 골랐더라도 진행자가 문을 열어줄 수 있습니다. 진행자가 정답을 미리 알고 있느냐 아니냐에 따라 행동할 수 있는 경우의 수에 차이가 생기고 그게 확률의 차이로 나타나는 거죠.
22/06/07 07:21
(수정됨) 내가 선택하지 않은 문 2개를 하나의 그룹으로 묶어 줬기 때문입니다.
문 A,B,C 가 있고, 내가 A 를 골랐을때 [남은 문 B,C 에는 최소 하나 이상의 염소]가 있습니다. 만약 이때 사회자가 남은 문 2개를 동시에 고를 수 있는 기회를 준다고 하고 [문 A를 포기하고 문 B,C를 고른다면] 이때 [선택한 문 B,C 에는 반드시 염소가 있는 문이 있지만 당첨 확률은 67%]로 올라갑니다. 몬티홀에서 [사회자가 염소가 있는 문 을 열어주고 문을 바꾸는 행동은 문 B,C를 동시에 고르는것]과 다르지 않습니다. 다만 문 2개를 고르고 그 중 염소가 있는 문을 열어 보이는 과정을 반대로 한것 뿐이죠. [사회자가 문을 열어 보일 때 남은 문이 B가 될지 C가 될지는 어느쪽 문에 차가 있고, 어느쪽 문에 염소가 있냐에 따라 다릅니다.] 문 B(염소) : 문 C(차) -> 남은 문 C - 1/3 확률 문 B(차) : 문 C(염소) -> 남은 문 B - 1/3 확률 문 B(염소) : 문 C(염소) -> 남은 문 랜덤 - 1/3 확률 경우의 수는 3가지 이고, 남은 문은 2가지 경우에 당첨입니다. 이를 확률로 하면 선택을 남은 문으로 바꾸면 2/3 확률로 차를 얻게 되는거죠.
22/06/07 06:52
ㅠㅠ 설명보면 그런가? 하는데
어쨌든 내가 선택한 확률은 게임진행자가 하나를 선택하주게됨으로써 결국엔 다시 원점으로 2개만 남고 여기서 선택을 해야 하는거 아닌가요? 내가 처음 선택에서 가지는 확률이 게임진행자가 하나를 선택해 주는 후의 선택과 연결이 될 수 있는걸까 싶어요.
22/06/07 06:54
3개의 문이 아니라 1000개의 문이라고 가정하면 쉽게 이해됩니다.
1번문의 당첨 확률은 1/1000이고, 나머지 문들 당첨 확률은 999/1000입니다. 진행자가 2번~1000번 문중 가령 199번 문을 제외하고 나머지 전부를 열어 놓으면 1번 문과 199번 문만 남게 되고, 199번문 당첨 확률이 999/1000입니다. 여기서 포인트는 진행자가 당첨될 문을 '모르고서' 무작위로 여는 게 아니라는 사실입니다.
22/06/07 08:51
몬티홀의 확률자체는 이해했었는데
마지막에 강조하신 포인트를 옛날부터 계속 이해를 못했었습니다. 진행자가 알고 열었든, 모르고 열었든 당첨문이 안 나온 상황이라면 어차피 199번문의 당첨확률은 999/1000으로 똑같은거 아닌가요?
22/06/07 09:20
모르고 나머지 문을 무작위로 다 열다보면, 보통은 중간에 당첨문이 열리겠죠. 근데 무작위로 왕창 열었는데도 우연히 아주 낮은 확률로 당청문 안 걸리고 문이 두 개만 남았다? 그 상황이 오면 그냥 50%입니다.
22/06/07 09:22
진행자가 모르고 열었는데 당첨문이 안나온 상황이면 그 확률을 반영해야 하기 때문에 다릅니다.
1) 참가자가 정답을 고를 확률 = 1/1000 2) 참가자가 오답을 고르고 진행자가 정답문 하나만 빼고 다 열 경우 = 999/1000 * 1/999 = 1/1000 3) 참가자가 오답을 고르고 진행자가 오답문 하나만 빼고 다 열 경우 = 999/1000 * 998/999 = 998/1000
22/06/07 09:25
아닙니다. 그런 상황이 발생했다면 처음에 내가 기적같이 당첨을 뽑았을 확률도 1/1000이고, 내가 꽝을 뽑았지만 진행자가 우연히도 기적같이 당첨만 쏙 빼고 열었을 확률도 똑같이 1/1000 (=999/1000*998/999*...*2/3*1/2) 이거든요. 그래서 그 상황이라면 반반이죠.
22/06/07 07:42
이전 선택이 현재 선택에 영향을 주면 선택을 바꿀경우에 66.6%가 되는게 맞는데 (2/3의 확률로 틀린걸 고르고 있을 것이므로) 결국 문 두개중에 하나 고르는거라 따지면 50%잖아요.
전제조건이 선택 후 경우를 2가지로 줄여준다여서 66.6%라는건 납득하긴 하는데 제가 선물 고르게 되면 결국 반반이라는 느낌 일 것 같네요 크크
22/06/07 07:55
맨처음 제주삼다수님 말씀처럼 '틀린 문을 하나 열어주고 바꿀 기회를 준다'는 행위를 '반드시' 한다는 전제가 들어가야하긴하죠. 사회자 재량으로 바꿀 기회를 준거라면 전제가 깨지죠. 이게 루틴화된 행동이라는 보장이 저 장면에 나와있지는 않아요.
22/06/07 08:03
저마다 편하게 이해하는 방법이 있군요
저는 분문 기준으로 사회자가 3번열어주기 전까지 상황에서 1번이 당첨일확률 1/3 2+3번에서 당첨이 나올확률 2/3 사회자가 3번-꽝을 열어주면 1번 당첨확률 1/3 2번 당첨확률 2/3 3번 당첨확률 0 이게 저에게 가장 직관적인 이해 방법이었던 것 같네요
22/06/07 09:50
칼융은 이걸 동시성(Synchronicity)라고 하죠 저도 자주 경험합니다.
https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=ksh3aaa&logNo=221305651738
22/06/07 08:42
처음 선택한 게 정답인지 아닌진 상관없어요
그냥 출제자는 뭐가 오답인지 알고 선택하지 않은 문 중 오답인 것 하나를 열어준단 것만 중요하죠.
22/06/07 09:27
오답일 때만 기회를 주는 거면 확률이 1/3, 2/3가 아니라 무조건 100퍼센트가 되는 건데요. 무조건 바꾸는 게 정답이니까요.
저게 전제가 되어야 한다고 생각하는 게 오히려 문제를 잘못 접근하시는 거죠.
22/06/07 08:55
처음에 정답을 고를 확률은 1/3이에요. 정답이라도 당연히 구라핑을 열어주죠. 처음선택이 맞을 확률은 1/3이고 바꾸면 2/3라는 확률에는 변함이 없습니다.
22/06/07 09:05
그래서 저 영화에선 교수가 '사회자가 심리를 노려서 문을 열었을수 있지 않겠나?'라고 물어봅니다.
그러자 저 주인공이 '난 그딴거 모르겠고 통계학적으로 수학적으로 계산한거다'라고 하자 교수가 칭찬하고요 이건 통계적으로 보는거지 심리까지 보는게 아니죠
22/06/07 09:34
그거는 사회자가 그때그때 다르게 진행한다면 그럴 수도 있습니다.
어떤때는 문을 열고 바꿀 기회를 주거나, 어떨때는 기회를 주지 않거나 그러면 구라핑일 가능성이 생기죠. 하지만 그런거 모르겠고, 이 한 건에 대해서만 수학적으로 계산하는거니까요.크크
22/06/07 08:37
저는 너무 이해가 안돼서 그냥 3개의 문 중 하나의 문을 선택했을 때 그 뒤에 자동차가 있을 확률과 두 개의 문을 선택했을 때 자동차가 있을 확률로 생각해서 이해해버리고 넘어갔네요.
남은 문 중 꽝인 문만 알려준다는 점에서 나머지 두 개의 문을 패키지로 이해해도 되니까
22/06/07 08:40
이렇게 생각하면 편합니다
두개중에서 바꿔서 당첨될/당첨안될 확률은 1/2인데 처음에 맞는걸 선택할 확률은 1/3 (안바꿔야 당첨 * 1/2 = 1/6) 틀린걸 선택할 확률은 2/3 (바꿔야 당첨 *1/2 = 1/3) 처음에 틀린걸 선택할 확률이 높기때문에 바꾸는게 유리합니다 크크
22/06/07 08:43
처음에 정답을 골랐으면? -> 바꾸면 안됨
처음에 오답을 골랐으면? -> 바꾸면 100% 정답 --> 처음 '3개 문' 중에서 정답을 골랐을 확률은? 저는 이런 식으로 주변에 설명하긴 했어요.
22/06/07 09:00
(수정됨) 간단히 말해서 [사회가자 답을 알고 있느냐]와 [사회자가 답을 모르느냐] 차이가 엄청나게 난다는 겁니다.
사회자가 답을 모르면 [1/100 확률로 문 하나를 열었더니 꽝이더라]라서 1/100의 가능성이 사라지면서 다른 문들의 확률이 변동이 됩니다. 하지만 사회자가 답을 알면 [100% 확률로 꽝인 문을 열었다]이기에 다른 98개 문의 확률은 그대로 99/100이 유지됩니다 [몰랐는데 열고보니 꽝이더라]와 [꽝인 문을 일부러 열었다]가 그만큼 달라요. 전자는 확률이지만 후자는 확률이 아니니까요
22/06/07 09:08
사회자가 답을 모르는 경우에는 열어주다가 정답을 뽑아버리기 때문에 문제인거지, 그전에 꽝을 열어주면 열어주는 만큼 확률이 변동이 생기는게 맞죠...
22/06/07 09:23
교수가 '사회자가 정답을 골라서 심리전을 걸려고 저렇게 행동한건 아니겠나?'하니
주인공이 '그런건 고려하지 않고 통계만 놓고 확률적으로 높은 선택을 한거다'라고 합니다. 감정이나 심리가 들어가면 확률이 의미가 없어지죠.
22/06/07 09:40
각각 케이스에 대해서 행복감을 측정하면 되는데
바꿔서 꽝이거나 정답인 경우 안 바꿔서 꽝이거나 정답인 경우까지. 근데 너무 경우가 많네요.
22/06/07 09:27
(수정됨) 당신이 선택한 문을 A, 나머지를 B, C라고 합시다.
각각에 문 뒤에 자동차가 있을 확률은 모두 같다고 가정합시다. 1. A 뒤에 자동차가 있는 경우 2. B 뒤에 자동차가 있는 경우 3. C 뒤에 자동차가 있는 경우 의 세 가지 경우로 나눠볼 수 있습니다. 각각의 경우의 확률은 모두 1/3로 동일 하겠죠. 1. A 뒤에 자동차가 있는 경우 - 사회자는 B 또는 C의 문을 엽니다. 선택을 바꾼다면 차를 얻을 수 없죠. 2. B 뒤에 자동차가 있는 경우 - 사회자는 C의 문을 엽니다. 선택을 바꾼다면 차를 얻습니다. 3. C 뒤에 자동차가 있는 경우 - 사회자는 B의 문을 엽니다. 선택을 바꾼다면 차를 얻습니다. 각각의 경우는 모두 1/3로 동일하니 바꿨을 때 이득이 되는 경우는 세 가지 중에서 두 가지 입니다. 하지만 바꿨다가 틀리면 기분이 드러워지기 때문에 바꾸지 않는다가 정답입니다.
22/06/07 09:31
이게 레알이죠. 크크크.....
확률은 확률이고, 그게 높든 낮든간에 가능성의 영역이라.... 무료가차에서 쓰알도 나오고, 유료가챠에서 중복도 나오고 그런거죠.
22/06/07 10:09
확률적으로 생각하면
내가 처음에 틀린곳을 골랐다 -> 바꾸면 정답 내가 처음에 정답인 곳을 골랐다 -> 바꾸면 오답 이라서 바꾸면 2/3 확률로 정답인건 납득이 되는데, 결국 2개 문 남기고 재선택이라 보면 반반싸움 인 것 같은 기분이 드니까 틀려도 그대로 가야 기분상 이득 크크
22/06/07 09:39
안바꿉니다.
처음 선택한 곳에 차가 없었다면 사회자가 딴 곳을 안 열고 바로 그 곳을 열거 같아서.... 프로그램 짜서 10만회 정도 돌려 보니 안 바꿀 때 33.2%, 바꿀 때 66.8%로 나오는군요
22/06/07 09:47
선택후에 사회자는 무조건 염소문을 하나 열어준다... 는 전제가 있어야 하지 않나요.
가령 무한도전인데 사회자가 노홍철이고 참가자가 정준하예요. 근데 정준하가 문을 고른후에, 어디에 차가 있는지 알고있는 노홍철이 깐죽거리면서 염소문을 하나 더 열어줬어요. 그래도 수학적인 계산이나 하고 있을껀가요? 크크 반심리학 어쩌구를 영화에선 쿨하게 무시했지만 실제로는 무시가 안되죠.
22/06/07 10:17
염소를 고른 경우는 선택의 기회를 주지않고 문을 염 +차를 고른 경우에는 염소문을 열어서 다시 선택하게함
이렇게 한다면 수학적으로만 바른 선택을 한다해도 차를 받을 확률은 실제로는 0이죠 . 그래서 실제의 경우라면 심리학을 배제할수 있는 조건, 무조건 염소문을 하나 보여주고 다시 선택 기회를 준다... 는 전제가 있어야 하지 않나 싶습니다. 이게 잘 이해가 안되더라고요.
22/06/07 10:20
"무조건 염소문을 하나 보여주고 다시 선택 기회를 준다" 이거는 고정된 전제이고 절대 바뀌지 않습니다. 말씀하신대로 그게 흔들리면 아예 이 논의를 할 필요가 없을테니까요.
22/06/07 11:49
말씀을 어렵게 해놓으셨는데
그니까 첫댓글의 "선택후에 사회자는 무조건 염소문을 하나 열어준다... 는 전제가 있어야 하지 않나요."에 동의한다는 말씀이시죠?
22/06/07 11:48
저도 그 전제가 있는게 맞는 것 같아요
그 전제 없이 사회자는 어떻게든 내가 차타는게 싫다고 하면 바꾸면 안되죠 내가 티비쇼 세개를 나갔는데 첫번째는 차를 고르고 두번째 세번째는 염소를 골랐다고 하면 첫번째 사회자만 염소문을 하나 열고 바꿀래?물어보고 두번째 세번째 사회자는 걍 겜끝내겠죠 님꽝임 하면서
22/06/07 09:59
사회자가 염소문을 골라서 열어주는게 A 그룹을 선택했을 땐 영향이 없고 BC그룹에는 영향을 주기 때문이군요.. 이제야 이해가 되는듯
22/06/07 09:59
어떤 경우에도 내 첫 선택이 틀릴 확률이 66.7%라는건 변하지 않죠. 심리전이야 뭐 있을 수 있겠지만 바꾸는게 확률상 이득인거는 당연합니다.
22/06/07 10:09
슈뢰딩거 입장에서는 어차피 5:5 아닐까요?...는 농담이고,
어차피 처음 고른 숫자의 확률이 변하지 않는다는 것만 기억하면 되겠군요. 근데 저건 어디에 적용되는 건가요? 그냥 문제일 뿐인가요?
22/06/07 10:40
몬티홀 문제인데, 이걸 조건부확률 문제라고 무지성 공식으로 풀면 무조건 틀리고, 경우의 수로 일일이 그려서 접근하면 손쉽게 푸는 문제죠.
22/06/07 13:27
(수정됨) 깊게 생각 안하면 이해가 안 가는게 이상한 문제가 아닙니다. 실제로 처음 나왔을때도 나름 배웠다는 사람들도 이해 못하고 그랬으니까요.
근데 이미 2/3이 맞다고 결론이 난 시점에서 조건이 어쩌니 전제가 어쩌니 하면서 2/3이 아니라고 주장하는 건 멍청함과 아집의 영역으로 들어가는거죠. 저 본문 영화의 교수는 2/3의 확률이 나오는 전제조건을 다 언급하고 있거든요. (진행자는 답을 안 상태에서 추가 의도 없이 염소가 있는 문을 열었다.)
22/06/07 11:59
몬티홀 딜레마는 폴 에르디쉬같은 천재도 직관적으로 생각하여 즉답을 요구하면 틀릴 정도로, 바로 정확하게 정답을 도출하는건 쉽지 않습니다. 그게 가능한 일반인은 거의 없을가에요
22/06/07 12:10
몬티홀의 논쟁의 시작은
이게 [정답]을 맞추는거냐? [확률]을 묻느냐? 의 관점 차이 입니다. 아무리 10연가차가 더 SSR뜰확률이 높다지만 응 난 단차로 SSR 뽑았어~ 단차로 뽑으면 그만이야~~ 라고 해버리면 반박불가 한거죠.
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