* 이글은 수학에 대해서 자세한 설명보다는 사건 위주로 엔하위키를 참조하여 쓴 글입니다.


1. 페르마의 대정리




CUBEM AUTEM IN DUOS CUBOS, AUT QUADRATOQUADRATUM IN DUOS QUADRATOQUADRATOS, ET GENERALITER NULLAM IN INFINITUM ULTRA QUADRATUM POTESTATEM IN DUOS EIUSDEM NOMINIS FAS EST DIVIDARE.
임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 일반적으로, 3 이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다.

CUIUS REI DEMONSTRATIONEM MIRABILEM SANE DETEXI HANC MARGINIS EXIGUITAS NON CAPERET.

나는 이 정리에 대한 기적적인 증명법을 정말로 발견했지만 그걸 여기다 쓰기에는 책의 여백이 너무 좁다.




방정식 xn + yn = zn (n>2인 자연수)에는 정수 해의 쌍 (x,y,z) 값이 존재하지 않는다는 수학정리. 페르마는 피타고라스 삼각수 문제에 위와 같은 정리를 주석으로 달면서 이 정리를 증명했다고 했다. 하지만 김성모도 아니고 여백이 부족해서 증명은 쓰지 않겠다라고 했다. 그 뒤 이 페르마의 정리는 400백년간 수많은 수학자들을 낚은 최고의 떡밥이 되었다.






이 떡밥에 매료된 많은 수학자들은 이 정리를 증명하고자 한 평생을 바쳤지만 결국 인생을 허비하고 자살하거나 정신병에 걸리거나 상대에게 결투를 신청 죽음에 이르는 비극을 맛봐야만 했다.

일단 정리 자체가 상당히 알기 쉽고 단순(?)했고 당시 17세의 페르마가 이 정리를 증명했다고 해서 모두들 쉽게 생각하고 덤벼든게 화근이었다. 그리고 400년간 실패를 겪으며 많은 수학자들은 결국 페르마가 뭘 잘못알았거나 낚시질을 했다라고 생각하게 되었다.








2. 앤드류 와일즈의 등장




어느날 이정리를 책방에서 발견한 한 영국인 소년은 이렇게 생각했다.
"아니 왜 이 단순한 정리가 그동안 증명이 못되는거지?"

그가 바로 세기의 수학천재 앤드류 와일즈.

그는 40세에 영국 케임브리지 학회에서 페르마의 대정리의 증명이 담긴 논문을 발표했고 수학계는 발칵 뒤집혔으며 세계 신문 1면은 그의 얼굴로 도배되었다.

페르마의 정리에는 현대수학의 모든것이 총동원되었다.

앤드류 와일즈는 7년간 은둔폐인처럼 자기집에 틀어박혀 정신을 4차원으로 보내버리는 현대수학등을 동원해 페르마의 대정리를 증명했다. 그리고 그 해답은 PDF파일 109쪽, ZIP으로 압축한 용량이 9.4메가로 책 한권정도의 어마어마한 분량이다.

증명의 처음 두줄은 다음과 같다.

An elliptic curve over Q is said to be modular if it has a finite covering by a modular curve of the for X0(N). Any such elliptic curve has the property that its Hasse-Weil zeta function has an analytic continuation and satisfies a functional equation of the standard type.

이런 내용이 100쪽씩 있는걸로 왠만한 수학과 교수도 이해하기 힘든 난해한 내용이다.


하여간 앤드류 와일즈는 400년간 수많은 수학자를 낚은 페르마의 대정리를 증명했고 그는 수학계의 최고의 슈퍼스타가 되었다. 수학계의 노벨상인 필즈상은 수상하지못했는데 필즈상의 기준이 40세였기에 하필 41세에 증명을 완료한 앤드류 와일즈는 수상대상자가 될수없었다. 그러나 상을 안 주기에는 그의 업적이 너무나 대단했기 때문에 국제 수학자 연맹에서 1998년에 기념으로 은판을 만들어서 수여하였고 영국으로부터 대영제국훈장을 받았다.





3. 밀레니엄 문제

페르마의 대정리가 해결된건 수학계로서는 큰 쾌거였으나 한편으로는 많은 수학자들은 자신들의 목표중 하나가 상실되었음을 느끼게 되었다. 특히 페르마의 대정리 증명에 매달리고있던 수학자들은...
그들은 와일즈에게 새문제를 달라고 요구했으며 하버드 대학의 수학자들이 '클레이 수학연구소'라는 단체를 만들면서 여기에 앤드류 와일즈가 참여하여 2000년에 7가지 문제를 제시한다. 이것이 바로 21세기 수학계에 기여할 수 있는 7가지 문제
밀레니엄 문제이다.


7가지 문제는 다음과 같다.

P-NP 문제
호지 추측
푸앵카레 추측
리만 가설
양-밀스 질량 간극 가설
나비에-스톡스 방정식
버츠와 스위너톤-다이어 추측


이 문제를 풀면 일단 상금이 100만달러이며 필즈상은 떼놓은 당상이다. 수학책에 자신의 이름이 오르는건 당연하며 역사책에서도 자신의 이름이 오르내릴수가 있다. 많은 수학자들이 이 밀레니엄 문제에 도전하고 또 실패를 맛보며 좌절하고 절망했다.







4. P-NP 문제

쉽게 말해서, 답을 알고 보면 쉬운 문제(NP 문제)가 답을 알기 전에도 쉬운 문제(P 문제)인가를 증명하는 것.

P문제는 결정론적 튜링 머신으로 다항식 시간 내에 해결이 가능한 문제로 요즘 쓰이는 컴퓨터 같은 계산장치를 이용해서 '합리적인 시간 내에' 풀 수 있는 형태의 문제를 말한다.

간단히 얘기하여 문제를 풀때 그 문제를 푸는 시간을 다항식으로 나타낼수 있는 문제를 말하는것으로
예를 들자면

1 5 9 7 3 2 라는 숫자를 가장 낮은 숫자로 시작해 1 2 3 5 7 9 로 나열한다고 할때
맨처음부터 2개씩 묶어 비교해서 낮은숫자를 앞으로 보내는 알고리즘을 만들면 되고

(1 5) 9 7 3 2
1 (5 9) 7 3 2
1 5 (7 9) 3 2
1 5 7 (3 9) 2
1 5 7 3 (2 9)

의 순서대로 계속 찾게 된다. 그 걸리는 시간은 n(n+1)/2 로 나타낼수있고 (n(n+1)/2 씩 비교를 반복하면 되므로....) 따라서 P 문제가 된다.


NP문제는 비결정론적 튜링 머신이라는 장치로 풀 수 있는 것. 이 기계는 문제에 대한 여러 종류의 답을 동시에 검사할 수 있는 계산 장치이다.

P문제가 어떤 알고리즘을 만들어 문제를 풀수있다면 NP문제는 그냥 모든 경우의 수를 따져볼수 밖에 없는 문제이다.
'거대한 자연수의 (1이나 그 자신이 아닌) 약수를 찾는 문제'가 그것으로 두 거대한 소수의 곱으로 되어있는 자연수는 소인수분해를 할 방법이 없다. 예를 들어 68718821377 의 약수가 뭐냐고 한다면 일일이 2,3,4로 나누어 볼수밖에 없다. 하지만 이 수의 두 약수인 두 소수 131071, 524287 을 알려준다면 쉽게 답을 구할수가 있다. 이것이 NP 문제다.


만약 P=NP 가 증명된다면 그동안 일일이 하나하나씩 모든 경우의 수를 따져서 풀어야 하는 문제를 특정한 알고리즘에 의해 쉽게 풀수 있게 된다.

그렇기에 만약 'P=NP가 맞다'는 것을 증명이라도 하는 날이면 증명한 사람은 수학책이 아니라 위인전에 이름이 실리게 될것이다.

이 문제가 더 중요시하게 여겨지는 부분이 암호로 모든암호는 전형적인 NP문제다. 암호를 풀기위해선 지금은 일일이 모든 경우의 수를 대입해야 하고 따로 알고리즘을 만들수가 없지만 답을 알면 쉽게 풀린다.  암호가 해독을 어렵게 하기위해 특수문자등을 넣어 경우의수를 엄청나게 확대시키는데는 다 이유가 있다.  그런데 NP문제가 P문제라는게 증명된다면? 거의 모든종류의 암호는 안전할수 없게 된다.






5. 리만가설

밀레니엄 문제의 끝판왕.

괜히 밀레니엄 문제 짤방에 가운데를 차지하고 있는게 아니다.

'베르하르트 리만'이라는 수학자가 세운 가설로 수학사에 길이 남게될 최악, 최고 난이도 떡밥문제. 그리고 인생을 걸고 영생을 얻을 수 있는 복권. 현세대 정수론의 끝판왕 문제중 하나.

ς(x) = 0을 만족하는 모든 자명하지 않은 근의 실수부는 1/2이라는 리만의 가설을 증명해야 하는 문제로
많은 수학자들이 이 문제에 도전하다가 골로 가버리고 말았다.

그 주인공이 바로 뷰티플 마인드라는 영화의 주인공 존 포브스 내쉬. 리만가설 증명에 매달렸다가 정신분열증으로 아웃되었고 그 이후 리만가설은 학계에서 금기시되다 시피 했다. 지금은 다시 리만가설을 연구하는 인원이 많아졌지만...

리만 가설을 간단하게 설명하면 다음과 같다.

수학자 오일러는 소수의 규칙성에 대해 연구를 하였고  3 5 7 11 13 17 19.....13999 14009....로 무한하게 나오는 소수들에서는 어떠한 규칙도 찾을 수가 없었다. 하지만 오일러는 함수를 통해 이 소수와 원주율이 관계가 있다는 것을 밝혀낸다.
그리고 리만은 오일러의 함수를 변형 입체적인 그래프를 만드는데 이 그래프에서 리만이 계산한 4개의 제로점은 모두 일직선상에 위치하였다. 그래서 리만은 다른 제로점 역시 모두 일직선상에 위치할것이다 라고 가설을 세웠다. 이것이 리만 가설이다.

이 리만가설이 사실로 증명된다면 소수 전체의 배치에 대한 규칙성이 드러날것이라고 수학자들은 기대한다.
만약 그 규칙성이 드러난다면 두 개의 큰 숫자의 소수의 곱을 이용한 암호체계(RSA 암호체계)를 쉽게 깰수가 있을것이기 때문이다.

애니메이션 섬머워즈에서 주인공이 러브머신에게 낚여 오즈의 암호를 깨는데 러브머신이 수많은 수학천재들을 동원해 암호를 깨게 한건 그 암호가 두개의 큰 숫자의 소수의 곱을 이용한 RSA 암호체계이고 이 수가 어떤 소수의 곱인지 분해하는건 상당한 노가다이기 때문이다. 만약 리만가설이 증명되어 소수 배치의 규칙성이 드러난다면 암호의 해답인 어떤 두 소수도 쉽게 찾을수 있을것이다. 그러면 RSA 암호체계를 사용한 많은 보안체계는 무력화되고 세상은 난리가 날 것이다.

따라서 이 리만가설의 증명은 상당히 엄청난 떡밥으로 통하며 많은 수학자들의 도전욕을 자극했다. 대 수학자들은 외계인을 만나면 처음 할 질문이 리만가설은 증명되었습니까 라고 한다.







6.  푸엥카레 추측

3차원 공간에서 닫힌 곡선(폐곡선)이 하나의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구로 변형될수 있다라는 걸 증명하는 문제.


어떤 동그란 공이 있다고 할때 공을 줄로 둥글게 말고 이걸 위로 끌어올리면 (수축시키면) 둥글게 말린 줄은 점점 크기가 작아져 결국엔 하나의 점이된다.
반면 도넛은 줄로 도넛을 묶고 당겨도  하나의 점으로 되지않는다.

이에 푸엥카레는 거꾸로 추측을 했다.

어떤 공간의 모든 곡선을 하나로 수축시켜서 점이 된다면 그 공간은 구와 같을까?


이 문제가 중요한 이유는 이 문제를 통해 우주의 모양을 추측하는데 중요한 도구가 된다는것이다.

우주의 안에서 우주의 모양이 어떤지를 추측하는데 이 푸앵카레의 추측이 이용될수 있고 앙리 푸앵카르가 1904년 추측을 제시한 이후로 100여년간 아무도 증명을 하지 못했다.






7.  그레고리 페렐만의 등장



러시아의 수학자로 21세기 최고의 수학자. 그리고 거절의 아이콘.


이 수학자가 21세기 최고의 수학자로 통하는데는 다 이유가 있다. 바로 7개의 난제중 푸앵카르 추측을 증명하여 밀레니엄문제를 해결한 유일한 수학자이기 때문이다. 현재 밀레니엄 문제중 해결된건 푸앵카르 추측 한가지뿐이며 그 문제를 해결한게 그레고리 페렐만이니 당연히 최고로 불릴수 밖에


그가 2002년 36세일때 푸앵카르 추측에 대한 증명 논문을 올렸는데 그 논문을 올린곳이 정식 논문저널도 아닌 한 인터넷 저널.
그리고 그 논문은 수학계를 뒤집어 놨다.

100여년간 풀리지 않던 난제를 풀어내며 밀레니엄 문제를 처음으로 해결하니 더더욱 그럴수밖에...

그레고리 페렐만이 올려놓은 논문은 단 3페이지였는데(페르마의 정리 증명 논문에 비하면 턱도 없이 적은 양) 이 논문을 3년간 검증한 보고서는 수백쪽이 되었다. 그리고 이 위대한업적으로 페렐만은 수학계의 슈퍼스타가 되었다.

하지만 페렐만이 거절의 아이콘으로 통한건 이후 자신에게 오는 모든 상을 거절했기 때문이다.
2006년 필즈상 거절, 밀레니엄문제를 풀때 준다는 100만달러도 거절, 유럽수학회에서 주는 상도 거절...

그리고 수학계 다른 수학자들과 연락도 끊은채 완전히 잠적해버렸다. 러시아 상트페테르스부르크의 작은 아파트에서 어머니의 연금보조로 어렵게 살고 있다고 한다고... 지금은 또다른 밀레니엄 문제인  나비에-스톡스 방정식에 관심이 있다라고 페렐만의 동료가 밝혔는데 과연 또다시 밀레니엄 문제를 해결할지는 미지수.

* 信主님에 의해서 게시물 복사되었습니다 (2012-12-26 10:30)