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24/05/31 12:31
/// 궁금해서 챗gpt한테 물어봤습니다. ///
변수를 백분위로 변환하는 과정과 피어슨 적률상관계수에 미치는 영향을 이해하기 위해 다음 내용을 참고해 주세요. ### 백분위 변환이란? 변수를 백분위로 변환한다는 것은 각 데이터 값이 전체 데이터 집합에서 차지하는 상대적 위치를 0에서 100 사이의 값으로 변환하는 것을 의미합니다. 예를 들어, 어떤 데이터 값이 전체 데이터에서 75%의 값보다 작다면, 해당 값은 75번째 백분위에 위치하게 됩니다. 이는 원래 값 자체를 사용하는 것이 아니라, 해당 값이 데이터 집합에서 어디에 위치하는지를 상대적으로 나타내는 것입니다. ### 피어슨 적률상관계수(Pearson correlation coefficient) 피어슨 적률상관계수는 두 변수 간의 선형 관계를 측정하는 지표입니다. 그 값은 -1에서 1 사이의 값을 가지며, 1에 가까울수록 양의 선형 관계, -1에 가까울수록 음의 선형 관계를 나타내고, 0에 가까울수록 선형 관계가 없음을 의미합니다. 이 상관계수는 다음과 같이 계산됩니다: [ r = frac{sum (X_i - overline{X})(Y_i - overline{Y})}{sqrt{sum (X_i - overline{X})^2 sum (Y_i - overline{Y})^2}} ] ### 백분위 변환과 피어슨 상관계수의 관계 피어슨 상관계수는 각 변수의 평균과 표준편차를 기반으로 계산되므로, 변수의 상대적 순위나 위치가 아닌 원래 값 자체에 의존합니다. 따라서 변수를 백분위로 변환하면 원래 변수의 순위만 남고 값 자체가 달라지기 때문에, 피어슨 상관계수는 달라질 수 있습니다. - **변환 전 피어슨 상관계수**: 원래 변수들의 값을 사용하여 계산됩니다. - **백분위 변환 후 피어슨 상관계수**: 변환된 변수들의 백분위 값을 사용하여 계산됩니다. 이 경우 각 값은 0에서 100 사이의 값이 되며, 이 값들은 원래 값들의 순위만 반영합니다. 변수를 백분위로 변환하게 되면 피어슨 상관계수가 달라지는 이유는 다음과 같습니다: 1. **변환의 비선형성**: 백분위 변환은 원래 값들의 순위를 기준으로 하므로, 원래 값들 간의 차이를 그대로 유지하지 않습니다. 2. **상관계수 계산 방법의 변화**: 피어슨 상관계수는 평균과 표준편차를 기반으로 하여 계산되지만, 백분위로 변환된 값들은 이러한 통계적 특성이 달라집니다. 따라서 "X와 Y를 백분위로 변환하더라도 변환된 두 변수간의 피어슨 적률상관계수는 변하지 않는다"는 잘못된 진술입니다. 백분위 변환은 변수의 상대적 순위만을 반영하므로, 변환 후 피어슨 상관계수는 원래 값들로 계산된 상관계수와 다를 수 있습니다. 해설에서 언급한 "피어슨 적률상관계수는 지수이기 때문에 수치에 변화가 생긴다"는 표현은 다소 부정확하지만, 요점은 변환으로 인해 원래의 데이터 값 분포가 달라지고, 그로 인해 상관계수가 변할 수 있다는 점입니다.
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