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18/01/20 08:05
일단 1/4은 아닙니다.
이런 문제는 문제를 극단화시키면 힌트가 나오는데, 만약 13장의 카드를 뽑아 전부 다이아가 나온다면 상자에 있는 카드가 다이아일 확률은 0%입니다. 다른 카드를 관찰한 행위가 상자에 있는 카드의 분포에 영향을 미칩니다.
18/01/20 08:11
제가 이 내용 관련 예전 그 레전드 게시물이랑 크킹2 연재를 보고 PGR을 알게 되었죠.
여튼 이 문제의 답은 10/49이고 조건부 확률에 대해 알고 있다면 사실 아무것도 아닌 문제...
18/01/20 08:26
조건부 확률에서 후에 일어난 사건은 그 과거에 일어난 사건에 영향을 미치지 않으므로 1/4인데, 세장 확인후 카드를 다시 뽑으면 선후 관계가 뒤집히므로 확률이 올라가죠. 이 경우 몬티홀로 바뀝니다.
18/01/20 08:30
이 문제에서 묻는 확률은 세장을 뒤집어 보는 사건후에 일어난 사건이 아닙니다.
바른 확률적 선후관계는 [세장을 뒤집어 보는 사건]이 먼저 일어난거고 그 다음에 [처음 뽑아본 카드의 확률을 계산]하는 것이죠. 선후관계를 착각하신거고, 10/49가 답이에요. 물리적인 선후관계와 확률적 선후관계는 다릅니다. 파란 카드 빨간 카드 하나씩 들어있는 상자에서 눈을 가리고 카드를 한장 뽑아서 색이 안 보이게 뒷면으로 빼 놓았습니다. 그리고 이후에 상자에 남은 카드를 확인해보니 빨간카드였습니다. 이 경우에도 처음 뽑은 카드가 파란 카드일 확률은 먼저 일어난 사건이니 후에 일어난 사건에 관계없이 50%라고 생각하시나요?
18/01/20 08:39
후에 일어난 사건이 이전 일어난 사건의 조건을 변경할 정도로 나머지 카드를 다 까봤다면 가능한 이전 사건의 조건이 바뀌니, 확률이 바뀌는데,
세장 까본걸로는 이전 사건의 조건에 영향을 미치지 않으므로 이전사건의 확률에 영향을 미치지 않을것 같습니다.
18/01/20 09:06
그러면 문제를 조금 바꿔보죠. 다이아가 9999장 있고 하트가 1장있는 카드 뭉치가 있습니다. 처음 카드를 뽑고 이후에 9998장을 뽑았더니 모두 다이아였습니다 그러면 처음에 다이아를 뽑았을 확률이 9999/10000 이지만
한장 더뽑아서 그게 다이아였다면 바로 0으로 변한다는 건가요?
18/01/20 08:56
이런 단순한 조건부 확률에는 그런 비선형적 모델이 적용되지 않습니다.
카드를 한장씩 뒤집어서 다이아가 나올때마다 첫 카드가 다이아였을 확률은 조금씩 줄어들고 딱 12장째가 나오는 순간 0이 됩니다.
18/01/20 08:39
25프로 맞습니다. 정 믿기지 않으시면 직접 카드 100장정도 만들고 딱 열번만 확인해보면 금방 알 수 있죠
1장을 뽑고-> 24장의 다이아를 제거하고 -> 첫번째 카드를 확인해보면 76분에 1(76장중 한장이 다이아니)이 아니라 25프로에 가깝게 결과가 나옵니다.
18/01/20 08:50
24장의 다이아를 일부러 제거하는것과
24장을 뒤집었는데 그게 운빨X망겜으로 전부 다이아인 경우는 전혀 다릅니다. 몬티홀에서 사회자가 열어준것과 바람으로 열렸을떄의 확률이 다른것과 동일하죠. 본문에서는 [다이아 카드를 3장 뒤집은것]이 아니라 [뒤집은 카드가 다이아 3장이었던것] 이므로 10/49가 맞습니다.
18/01/20 08:50
여기서는 무작위로 3장을 뽑았는데 그게 모두 다이아일 경우에 첫장이 다이아일 확률을 묻는거죠. 임의로 다이아 3장을 뽑아낸 것이 아닙니다.
다이아를 뽑으면 3장 다이아를 뽑을확률이 감솝하고 다이아를 안뽑으면 3장 다이아를 뽑을확률이 증가하죠.
18/01/20 08:40
처음엔 1/4라고 생각했는데..
중간에 반대편에서 만약에 13장 깠는데 전부 다이아면? 글보고 .. 어..?? 애초에 다이아가 다나왔는데 이건 1/4확률이야.. 25% 나쁘지않는 숫자인걸..? 할 놈이 어디에.. 그래서.. 답은 모르지만 10/49 인거 같기도..??? 근데.. 저 상황 제외하면 1/4이어야 하는데..??? 아 어어??아 모르겠네요 진짜
18/01/20 08:40
1/4 아니죠 수학과에 수학강사입니다.
간단히 이 시행을 10000번 반복하면 처음께 다이아인 경우가 2500번이 나올까요?? 저 10000번 반복하는 것 중에서 그 다음에 다이아가 셋이 안나오면 그 경우는 안세고 셋이 나온 경우만 셀테니, 다이아가 아닐 경우가 더 많아지겠죠
18/01/20 08:47
참고로 그 다음 뽑을 카드 13장이 전부 다이아인건 전혀 다른 이야기인데
다이아 13장을 뽑을 수 있는 조건 자체가 [[첫 한장에 다이아를 뽑지 않았다]] 와 같은 의미입니다. 첫 장에 다이아를 뽑았으면 [[덱 안에 남은 다이아가 12장]]이니 13장을 뽑는다는 조건 자체가 불가능합니다 즉 이 경우에는 13장을 뽑기 전, [[덱 안에서 13장의 다이아를 뽑을 수 있다]] 는 확률 75프로짜리 조건을 만족시킨 다음에 확인하는거니 당연히 첫 장은 다이아가 아닐수 밖에 없습니다 간단히 정리하면 첫 장이 다이아다 = 덱 안에서 13장의 다이아를 뽑을 수 없다는 25프로의 가능성을 전부 제거하고 확률을 구하는거죠. 전형적인 확률장난입니다
18/01/20 08:53
생각을 잘못하셨거나 문제를 잘못 이해하신거죠. 인터넷에 올라온 수학 문제에 이런 저런 발상을 해보고 그 와중에 오답이 나오는게 이상하진 않지만 일단 이 문제의 답은 10/49 이고 이것은 논의를 할 사안이 아니라 그냥 유일한 답입니다.
18/01/20 08:57
처음에 다이아를 뽑으면 이후에 다이아를 3장연속 뽑을 확률은 줄어들고 우리가 보고자 하는 것은 다이아가 연속 3장 뽑힌 세계들중에 첫장이 다이아가 뽑힌 세계일 확률을 보고자 하는거죠
18/01/20 08:52
이게 왜 파이어되는지 모르겠는데 댓글을 더 안달아야겠네요
0.999999.....=1때도 그랬는데 이런건 평행선이라 영원히 끝이 안날겁니다
18/01/20 08:55
평행선이 아니라 답이 정해져있는 문제고, 본인이 문제의 조건을 착각하신거에요.
0.99999..............=1 이고 이 문제의 답은 10/49이며 임의의 각의 3등분 작도 문제는 불가능합니다. 평행선일수는 있지만 두 선이 동등한 조건이 아니라 한 선은 완벽한 정답이고 한 선은 전혀 엉뚱한 곳에 그려져 있는거죠.
18/01/20 09:49
이미 천영님 본인이 답을 처음에 납득하지 못하고 다른 주장을 했다가, 이후에도 아무런 이상이 없는 문제에 문제가 있다고 주장을 바꾸신 상황인데 그런 얘기를 본인 입으로 하시는건 좀 안 맞는거 같네요.
18/01/20 09:04
조건부확률 문제에서 직관적으로 이해가 안가시는 분들은 상황을 극단적으로 설정하면 좀 도움이 됩니다.
한장을 박스안에 넣고, 나머지 뭉치에서 3장을뽑은게 아니고 13장을 뽑았는데 다 다이아가 나왔습니다. 근데 이 시점에서 박스안에 있는 것도 다이아일 확률이 있을까요? 저게 1/4면 각종 카드게임에서 카운팅을 통한 확률계산은 다 뻘짓이죠. 돌겜에도 내 손에 야생의포효가 2장있어도 오른쪽에서 계속 나오길 바라야함...
18/01/20 09:31
a=그카드가 다이아
b=뽑은 두장이 모두 다이아 (a|b)=(a캡b)/b b=12C2/51C2=66/1275 a캡b=뽑은 세장이 모두 다이아=13C3/52C3=286/22100 a|b=(286/22100)/(66/1275)=1/4 계산해보니 1/4 맞습니다
18/01/20 09:39
1. b=뽑은 3장이 모두 다이아 입니다.
2. a랑 b랑 독립사건이 아니므로, (a|b) = (a캡b)/{(a캡b)+(~a캡b)}입니다.
18/01/20 09:45
a와 b는 독립사건입니다.
a는 처음 뽑은 한장이 독립, b는 처음 한장이 다이아일때 뒤에 뽑은 두장이 다이아인 사건입니다. 두 사건은 독립입니다. 샘플 숫자 보시면 제가 그렇게 계산한걸 알 수 있으실 겁니다.
18/01/20 09:06
몬티홀과 다른 점은 몬티홀은 빈 문을 일부러 골라서 보여줬다는 점이고
이 문제에서는 랜덤하게 뒤집어서 보여줬는데 다이아였다는 점에서 서로 다른 문제입니다.
18/01/20 15:29
그렇죠 빈곳을 일부러 골랐냐, 뽑고보니 우연히 나온거냐를 구분하는게 핵심인데
그 차이를 이해하는 사람은 두 문제 다 풀 수 있을 것이고, 아닌 사람은 두 문제 다 헤매는거죠 크크
18/01/20 09:15
엄밀히 말하면 이건 수학문제라기보다 언어문제..'이때' '확률'의 개념정의에 혼동이 있는거죠. 확률이라는 것이 애초에 확정되지 않은 일의 '추측되는' 예상값을 계산하는 것이니 처음에 뽑을 때는 1/4확률이었지만 다이아 3장을 뽑았다는 변수가 포함되면 계산식이 바뀌었으니 예상값도 바뀌는거죠.
맨첨에 다이아를 뽑았을 확률은 1/4지만 그 다음에 다이아3장을 뽑았다는 조건이 추가되면 모든 경우의 수를 나열한다치면 한장을 빼고 세장을 뽑았을때 다이아가 세장 나오지 않은 경우는 분모에서 제외되기 때문에 식이 달라지는 셈입니다.
18/01/20 09:20
잠시 생각해봤는데 또 말장난에 속았네요. 막내야 또 속냐!
3장을 뽑아서 다이아가 나온게 확정사실 = 25프로 3장을 뽑은게 무작위로 나온 결과 = 10/49 가장 중요한 조건을 은근슬쩍 넘어갔는데...이러니까 사람들이 파이어되죠. 볼때마다 이런 유형의 문제는 말장난이 너무 심해요
18/01/20 10:12
그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다.
잘 섞은 다음 뽑았다고 했는데 무작위가 아니게 이해될 수가 있나요?
18/01/20 09:24
파이썬으로 시뮬레이션 돌려봤습니다.
총 77380713회 시행 - 2 ~ 4번째 뽑은 카드가 다이아일 확률 : 1.295%, 2 ~ 4번째 뽑은 카드가 다이아일때 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률 : 20.396%
18/01/20 09:30
직관적으로 판단할라면. 다이아 12장을 제거하면 됩니다. 1/4 또는 1/40 둘중에 하나죠. 복잡하게 생각안해도 25퍼구나 라고 생각이 들겁니다.
18/01/20 09:44
다이아 12장을 임의로 제거한것과 12장을 제거했는데 그게 우연히 다이아였던것은 전혀 다른 이야기입니다. 굿샷님은 계속 전자를 얘기하시는것이고 문제의 조건은 엄연히 후자이지요.
18/01/20 09:42
1/4이려면 무작위로 3장 뽑아서 모두 다이아일 때가 아니라, 뽑는 사람이 카드 뒷면을 알아볼 수 있어서 자의로 다이아만 3장 뽑아야 합니다.
그게 아니면 다이아가 뽑힐 때마다 확률이 바뀝니다. 먼저 상자 안에 넣어놨다는 이유로 후에 카드를 뽑아서 다이아인 걸 확인했는데도 1/4이란 소리는, 포커플레이어의 존재를 부정하는 거죠. 포커플레이어는 상대가 보여주지 않은 카드를 이후 공개되는 카드를 통해 확률로 계산합니다.
18/01/20 09:45
결론은 대학 입시 출제자를 매달면 됩니다
문제 안에 문제의 조건이 모두 포함되어있지 않으니, 최소 시말서각. 문제가 해석에 따라 조건이 틀려지는 시점에 이건 정해진 답이 없을 수 밖에 없죠
18/01/20 09:48
대학입시 문제라는건 조사 결과 루머로 판별되었고
[그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다.] 이 문장만으로 문제에는 이미 조건이 전부 포함되어 있습니다.
18/01/20 09:49
이거 아직도 1/4이라고 하는 사람들이 있었군요...
예전 당시에 답답해서 시뮬레이션으로 천만번 가까이 시행한 결과를 제시해도 "그렇다고 해도 1/4" 이라는.반응이 나와서 더 답답해졌었는데 크크 참고로 이 문제의 답이 1/4이라면 https://pgr21.co.kr/pb/pb.php?id=spoent&no=14777 이 게시글 마지막 영상의 문세윤만 남은 상황도 1이 걸릴 확률은 20%가 되어야 합니다. (*수정: 다시 보니 미리 선택을 해 둔 상황이 아니었네요. 이 예시는 잘못된걸로;;;) 마찬가지로 몬티홀 케이스에서도 3개 중에 하나 고르고 남은 두 개 중에 무작위로 골랐는데 열고보니 꽝이었을 경우는 마지막 남은 문과 고른문이 정답일 확률이 각각 50대50이 되고요. 왜냐면 남은 두 문 중에서 무작위로 하나 골랐을 때 정답이 나와버린 경우의 수가 모두 제거되어버린 상태거든요.
18/01/20 09:52
텍사스홀덤할땐 이걸 10/49로 보고 배팅량을 조절합니다.
하트플러시를 원하는데 다른플레이어 하트들이 많아지면 플러시가 될 확률이 줄어들죠. 실제 결과들도 그렇습니다. 영향을 주게되요.
18/01/20 09:54
음 그냥 10/49네요.
확률이라는건 우리가 진실을 모르기 때문에 확률이라고 부르는 거죠. 상자 안에 뭐가 있는지 지금 시점에서는 신만이 아니까. 그렇기 때문에, 관측되는 진실이 늘어날수록 당연히 확률도 변합니다. 먼저 시행된 사건의 확률이라고 해서 절대 불변이 아닌거지요.
18/01/20 11:27
그렇죠. 확률은 계산값이지 결론이 아닌데 혼동을 하는거죠. 선행사건의 진실ㅡ결론이 바뀌진 않지만, 가능성의 계산값은 달라지는 것이죠.
18/01/20 10:11
음 확률은 수식으로 말씀해주시는게 좋은데...
아시는 분들은 맞다 맞다 하지만 마시고 수식으로 써주시면 오류를 정정하는데 많은 도움이 될 것 같습니다. 몬티홀 문제는 수식으로 쓰면 깔끔하게 2/3으로 떨어집니다. 맞다 맞다 해봤다 이런거 말고 숫자 몇개면 훨씬 답이 쉽게 나옵니다. 이것쯤 틀리는게 뭐 쪽팔리는 일도 이상한 일도 아닌데 왜들 이상한 걸로 싸우는지 이해가 잘 안가네요. 부심부리시는것도 잘 모르겠고.
18/01/20 10:19
제가 숫자 커지는거랑 식 길어지는걸 안 좋아해서, 사건을 압축해서 경우의 수로 쉽게 풀어드릴게요.
스다하클 문양 = X, Y 문양으로 압축 2~10, JQKA 13장 = 1, 2, 3 세장으로 압축 X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3 6장을 가지고 진행합니다. ------------------------------------ 문제 1. 6장의 카드 중 임의로 1장을 뽑았을때, 그 카드가 X 문양일 확률은? } P : 전체 경우의 수 = 6 A : 뽑은 카드가 X 문양일 경우의 수 = 3 B : 뽑은 카드가 Y 문양일 경우의 수 = 3 } 답 : A/P = 3/6 = 1/2 문제 2. 6장의 카드중 1장을 임의로 뽑고, 1장을 더 뽑았는데, 뒤에 뽑은 카드가 X 문양이었다. 처음 뽑은 카드가 X 문양일 확률은? } P : 전체 경우의 수 = 30 } A : 처음 뽑은 카드가 X 문양, 두번째 뽑은 카드도 X 문양 = 6 B : 처음 뽑은 카드가 X 문양, 두번째로 뽑은 카드는 Y 문양 = 9 C : 처음 뽑은 카드가 Y 문양, 두번째로 뽑은 카드는 X 문양 = 9 D : 처음 뽑은 카드가 Y 문양, 두번째로 뽑은 카드도 Y 문양 = 6 } 답 : A/A+C = 6/6+9 = 6/15 = 2/5 루트에리노님 주장대로면 두번째 식에서도 답이 1/2이 나와야합니다. 어디가 틀렸는지 잘 생각해보세요.
18/01/20 13:50
이런 류에서 틀린 사람을 이해시키려면 그 사람이 생각하는 관점에서 오류를 지적해줘야하는데, 다들 자기가 이해한 방식으로 그게 옳다고 주장하니 이해 시키는게 쉽지 않죠.
18/01/20 10:14
맞는것(또는 틀린것) 을 골라서 뒤집는것과
임의의 n장을 뒤집는것과는 전혀 다른 얘기죠. 이걸 1/4이라고 하는거는... 실제 지지율은 이미 정해져 있는건데 설문조사가 얼마로 나오든 변하는게 아니다~ 그러므로 설문조사는 의미없다~ 라고 하는거나 똑같은거임.
18/01/20 10:16
상자에서 51장을 뽑았는데 그 중 다이아가 12장이라면 뽑아둔 카드가 다이아일 확률은 몇 일지 생각해 보면 되지 않나요.
이러면 확률에 변화가 오는 걸 단 번에 아실텐데
18/01/20 10:46
위에 진지하게 그런 식으로 생각하시는 분이 있어서 솔직히 충격받았네요 크
헷갈리는 건 충분히 그럴 수 있는데 그런 식으로 생각할 줄은..ㅠ
18/01/20 10:29
사실 이런 건 수학 문제라기보다 논리 문제에 가깝습니다.
한 장의 카드를 맨 처음에 뽑았느냐, 맨 나중에 뽑았느냐는 하나도 중요하지 않아요. '그 카드가 아닌 다른 카드' 중 세 장이 다이아였다는 게 포인트죠 크크 경우의 수에서 세 장이 제외되므로 당연히 49분의 10입니다.
18/01/20 10:39
아니 뭐 하긴 몬티홀 문제도, 그 대천재셨던 폴 에어디쉬 선생님까지 헷갈리게 한 문제였으니 그러려니 합니다마는(본질적으로 이 문제는 몬티홀 문제와 똑같죠. 숫자만 좀 장난질을 친 것일 뿐)... 그럼에도 불구하고 설명하기가 참 힘든 게 묘한 곳에서 열 받는 건 어쩔 수 없네요 크크크크크 ㅠㅠ
18/01/20 10:47
두번째~네번째 뽑은 카드가 다이아일 경우의 수
= (첫번째 뽑은 카드가 다이아이고 두번째~네번째 뽑은 카드가 다이아일 경우의 수) + (첫번째 뽑은 카드가 다이아가 아니고 두번째~네번째 뽑은 카드가 다이아일 경우의 수) = (13 * 12P3 * 48!) + (39 * 13P3 * 48!) 문제에서 요구하는 확률 = (첫번째 뽑은 카드가 다이아이고 두번째~네번째 뽑은 카드가 다이아일 경우의 수) / (두번째~네번째 뽑은 카드가 다이아일 경우의 수) = (13 * 12P3 * 48!) / {(13 * 12P3 * 48!) + (39 * 13P3 * 48!)} = 10/49 https://www.wolframalpha.com/input/?i=(13+*+P(12,3)+*+48!)+%2F+%7B(13+*+P(12,3)+*+48!)+%2B+(39+*+P(13,3)+*+48!)%7D
18/01/20 11:31
A: 조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤, 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자 안에 넣은 카드가 다이아인 사건
B: 조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤, 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자 안에 넣은 뒤, 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아인 사건 P(A|B)를 구하라는 문제이고 베이즈 정리에 따라 P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) P(A)=1/4 P(B)=(1/4)((11C3)/(51C3))+(3/4)((12C3)/(52C3)) P(B|A)=(11C3)/(51C3) 따라서 P(A|B)=10/49
18/01/20 11:53
가) 로또를 샀습니다
1.2.3.4.5.6 으로 샀는데 토요일 8시30분 추첨본방사수를 했습니다 5번째까지 추첨했는데 1.2.3.4.5가 나왔습니다 이때 내가 1등에 당첨될 확률은? 나) 로또를 사려고 합니다 근데 로또 회사에서 이번주 1등번호 5개를 알려줬습니다. 1개를 찍어야 합니다. 내가 1등에 당첨될 확률은? 언어 논리 문제인거 같아요
18/01/20 19:30
어.. 본문은 쉬웠는데 전 이게 햇갈리네요; 가)는 1/10 이죠? 한개만 맞으면 되니까. 근데 나) 도 1/10로 생각이 되는데 의도하신바와 다른 것 같습니다. 설명 좀 부탁드려도 될까요;
18/01/20 12:03
자신의 오류의 당위성을 찾아내려고 안간힘을 쓰게 만드는것이
이런 문제를 만드는 사람의 또다른 목적 아닐까요 크크 계획대로다 짤방이 몇번을 나와도 부족할듯...
18/01/20 15:47
52장 중에 한장 까서 그게 다이아일 확률 = 1/4
52장 중에 한장 까서 상자에 넣고 다음 3장을 깠는데 "이게 다 다이아일때" 그게 다이아일 확률 != 1/4 로 정리하면 될 것 같군요.
18/01/20 17:07
몇 년 전에 제가 틀렸던 문제로군요;; 얼마 전에야 간신히 10/49라는 걸 이해했습니다.
[노움페라투 논란] 당시에 이 문제를 곱씹어보다보니 제가 엉터리로 생각했다는 걸 알겠더군요 [-]
18/01/20 19:04
10/49 죠. 조건에 대한 상황이 변했는데 그걸 계산하지 않으면...
홀덤 대회 영상 보면 서로 플립전 올인 했을 때 이길 확률이 나오고, 그 뒤로 패 한장이 까일 때마다 확률이 바뀌는 원리 와 같습니다.
18/01/20 19:38
10/49 아닌가요?
여기서 몇 번 봐서 이미 답 외웠어요 크크 보석상이 100만원 손해... 몬티홀은 바꾼다 카드게임은 10/49 크크크
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